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方差介紹

方差是各個(gè)數(shù)據(jù)分別與其平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù)，用字母D表示。在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，方差（Variance）用來(lái)度量隨機(jī)變量和其數(shù)學(xué)期望（即均值）之間的偏離程度。在許多實(shí)際問(wèn)題中，研究隨機(jī)變量和均值之間的偏離程度有著重要意義。

方差公式

方差是實(shí)際值與期望值之差平方的平均值，而標(biāo)準(zhǔn)差是方差算術(shù)平方根。[1]  在實(shí)際計(jì)算中，我們用以下公式計(jì)算方差。

方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù),即 ，其中，x表示樣本的平均數(shù)，n表示樣本的數(shù)量，xi表示個(gè)體，而s^2就表示方差。

而當(dāng)用 作為樣本X的方差的估計(jì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)其數(shù)學(xué)期望并不是X的方差，而是X方差的倍， 的數(shù)學(xué)期望才是X的方差，用它作為X的方差的估計(jì)具有“無(wú)偏性”，所以我們總是用 來(lái)估計(jì)X的方差，并且把它叫做“樣本方差”。

方差，通俗點(diǎn)講，就是和中心偏離的程度！用來(lái)衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小）并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差。記作S2。 在樣本容量相同的情況下，方差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定。

公式可以進(jìn)一步推到為：其中x為這組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)，n為大于0的整數(shù)。

舉例

如下面的例子：

已知某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：

甲儀器測(cè)量結(jié)果：

乙儀器測(cè)量結(jié)果：全是a

兩臺(tái)儀器的測(cè)量結(jié)果的均值都是 a 。但是用上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，很明顯，我們會(huì)認(rèn)為乙儀器的性能更好，因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近。

由此可見(jiàn)，研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的。那么,用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢?容易看到E[|X-E[X]|]能度量隨機(jī)變量與其均值E(X)的偏離程度。但由于上式帶有絕對(duì)值,運(yùn)算不方便，通常用量E[(X-E[X])2] 這一數(shù)字特征就是方差。

一般用下面公式進(jìn)行計(jì)算：

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

方差不只是為了取正值，它有很直接的意義，源自勾股定理。以典型的隨機(jī)散步為例：醉漢每步的長(zhǎng)度為Xi，以（xi, yi）表示，有xi2 + yi2= Xi2。走了N步時(shí)距離起始點(diǎn)的路程為X, 則 X2 = ∑ (xi2+ yi2) = ∑ Xi2，這正是方差。若每步的距離相等，都是單位距離，則方差 X2 = ∑ Xi2 = N 。